L. , 19-B.20) couplées au système (1.89)-(1.90) fournissent un système d'´ equations di?érentielles sous la forme

, C r est le rapport de la vitesse radiale dR/dt et de la vitesse du liquide u : ? Dans le cas o` u Re 1, on retrouve le résultat (C.9), o` u rayon et vitesse sont maintenant des valeurs instantanées

, Re ? 1 et Re C r ? 1, la force totale exercée sur la bulle est la somme de (C.8) et d'un terme de mémoire intégral, Ce dernier fait intervenir la dérivée du produit R(u v)

, il semble que pour une bulle mise en mouvement par la force de Bjerknes, l'hypothèse Re C r 1 soit toujours réalisée, sauf pour des bulles très petites, et que l'expression correcte de la tra??néetra??née visqueuse soit (C.9) Notons malgré tout que le résultats cités ci-dessus ontétéontété obtenus pour une bulle de vapeur dont le rayonévoluerayonévolue de façon monotone au cours du temps, et rien n'indique qu'ils restent valables pour des bulles en oscillation rapide. La contamination du liquide invaliderait de toutes façons le résultat ci-dessus. 2.11 D'après Commander and Prosperetti (1989) : ` a gauche vitesse de phase ; ` a droite atténuation. Les points correspondent aux données expérimentales de Silberman (1957) : triangles : R 0 = 3.64 mm ; cercles : R 0 = 2.68 mm ; losanges : R 0 = 2.60 mm. Les courbes en traits pleins correspondentàcorrespondent, Au vu des ordres de grandeurs calculés dans la section 5.3.5, p.92

.. , 74) avec une source sinuso¨?dalesinuso¨?dale commençant par une phase de dépression. Les courbes en gras correspondentàcorrespondentà p = p 0 , dx/dt = c(p 0 ) Les deux lignes en pointillé correspondent aux vitesses de propagation maximale et minimale, Courbes caractéristiques de l'´ equation, p.96

V. , Mécanisme de raidissement d'une onde sinuso¨?dalesinuso¨?dale : la partie compressive de l'onde se propage plus, p.97

D. Noordzij and .. Van-wijngaarden, profils de chocs mesurés dans un tubè a chocs rempli d'un liquidè a bulles De gauchè a droite : profils observés en des points de plus en plus lointains de l'initiation du choc. Le choc oscillatoire initialement formé «relaxe» progressivement vers un profil monotone très peu raide, p.106, 1972.

.. , Portraits de phase des solutions stationnaires de l'´ equation de KdVB pour m < 1 et pour m > 1, p.109

D. Sangani and . Sureshkumar, A gauche : modélisation d'un rideau de bulles par un empilement de cellules périodiques. A droite, comparaison de l'atténuation : en ronds blancs, mesurée par Silberman ; en ronds noirs : calculés par simulation directe ; en traits pleins, 1993.

, 0 ) ; en traits pointillés, prédits par la théorie en

1. , , p.113

V. Frontì-ere-du-volume, A. Le-potentiel-est-imposé-sur, and A. La-vitesse-normale-sur, , p.121

.. , Définition des fonctions polynômiales par morceaux N j en 1D avec des polynômes de degré 1, p.123

, Définition des fonctions polynômiales par morceaux N j en 2D pour un maillage triangulaire avec des polynômes de degré 2, p.124

, Points de fonctionnement choisis pour les simulationsàsimulations`simulationsà p ? a =

.. , Les points sur les courbes montrent les amplitudes d'oscillations de bulle prédites par les modèles polytropique et thermique, p.167

. .. , Enveloppe de l'onde obtenue pour la simulation P1, p.167

3. , Evolution temporelle de la pression et du rayon au point noté «a» sur la figure 4, p.168

.. , La figure du haut montre que la longueur du domaine correspond au quart de la longueur d'onde associéè a l'harmonique f/23. Les deux autres harmoniques correspondent aux raies latérales de chaque coté de l'harmonique 1 engendrées par des interactions non-linéaires entre f et f/23, Sur la figure du bas sont présentées les harmoniques f 2f et 3f pour comparaison, p.170

H. , Puissance volumique dissipée en fonction de la longueur : en traits pleins, obtenue numériquement pour la simulation P1, en traits pointillés, prédite par la théorie linéaire, p.173

.. , Puissance volumique dissipée en fonction de la longueur pour les 4 simulations P1, P2, T1, T2 (zoom), p.174

, Amplitude maximale des oscillations d'une bulle de 10 µm excitéè a la fréquence f/f 0 = 0.445, en fonction de l'amplitude de la pression acoustique, prédite par le modèle thermique, p.175

.. , Evolution temporelle du rayon de chaque coté de la discontinuité de la figure 4.39 pour la simulation T2, p.175

. E?et-de-surface-dans-la-di?usion-rectifiée......., , p.184

. E?et-de-couche-dans-la-di?usion-rectifiée......., , p.185

.. , Seuil de di?usion rectifiée en fonction du rayon d'après l'expression (5.22)

0. , Vitesse de croissance d'une bulle en fonction de son rayon pour di?érentes pressions acoustiques (f = 20 kHz) Les labels sur chaque courbe indiquent les valeurs de P

D. and C. , A gauche : comparaison du seuil de diffusion rectifiée (5.22) (en traits pleins) avec les résultats expérimentaux . A droite : comparaison du taux de croissance (5.12) avec les résultats expérimentaux. La fréquence est 22.1 kHz et le rayon de la bulle pour la mesure du taux de croissance est 45 µm, 0192.

.. , 30) ( = 0) En traits pointillés : force de Bjerknes sur une bulle de taille inférieure au rayon de résonance (Re ? > 0) Lesfì eches indiquent le sens et l'amplitude de la force. Le point x m est le point o` u la force de Bjerknes est maximale (et positive), En traits pleins : |P (x)| défini par

. Principe-de-la-lévitation-d-'une-bulle........, la surface libre est en x = 0 et le premier ventre de pression est situé en x = /4 ; la courbe en traits pleins représente la force totale (Bjerknes + poussée d'Archimède) exercée sur la bulle. La courbe en pointillés rappelle l'enveloppe du champ d'ondes stationnaire. La force totale est nulle aux points x 1 et x 2 , le premierétantpremierétant instable, l'autre stable, Une bulle de taille inférieurè a la taille de résonance injectée entre x 1 et x 2 se stabilisera en x 2 . = 7.5cm, f = 20kHz

, La force de Bjerknes est calculée d'après (5.31) au point o` u elle est maximale, Vitesse de la bulle en fonction du temps

6. , rapportà rapport`rapportà son rayon etàetà la vitesse du fluide u. La bulle est placée au point x m de la figure 5, p.203

.. , une bulle dans une onde stationnaire d'amplitude p m en fonction de son rayon d'´ equilibre. b Nombre de Reynolds correspondant, p.209

4. Grandeur,

1. , et 0.8 bars, dans les mêmes conditions que la figure 5, p.210

.. , Forces de Bjerknes dedeuxì eme espèce : l'accélération radiale du fluide engendrée par les oscillations de la bulle 2 induit une force sur la bulle 1, p.212

.. , Evolution des bulles dans la zone x < x c de la figure 6.4. Les bulles dans la zone E se fragmentent, engendrant des bulles dans la zone D qui se dissolvent, p.252

.. Zone-de-cavitation-stable, , p.253

.. Représentation-du-champ-défini-par-cm, En trait pointillé : seuil de Blake En trait plein : seuil de di?usion rectifiée. En trait gris : trajectoire d'une bulle de rayon initial 10 µm partant de x = 7, p.256

7. , , p.257

.. Schéma-de-transfert-de-gaz-dans-le-liquide, les bulles migrant sous l'influence des forces de Bjerknes transportent du gaz vers la source acoustique Après plusieurs cycle de fragmentationdi?usion rectifiée, les micro-bulles produites se dissolvent dans le liquide. Le gradient de concentration en gaz dissout provoque un transfert depuis la source vers le lieu d'o` u viennent les bulles, p.258

. Mécanisme-possible-de-renucléation-du-gaz-dissous..., , p.259

P. , Exemple de seuil de di?usion rectifiée exhibant un minimum local : une pression acoustique P comprise entre P 1 et P 2 coupe ce seuil en trois points I 1 , S et I 2 . Le point S correspondàcorrespond`correspondà une taille de bulle stablè a la pression, p.262

D. Akhatov, seuil de di?usion rectifiée calculé numériquementnumériquement`numériquementà une fréquence de 20 kHz. Dans la zone grisée, les bulles grossissent, et dans la zone blanche elles se dissolvent. Le seuil présente un minimum local, de telle sorte que toutes les bulles sur la branche de droite sont stables par, p.263, 1997.

E. , Illustration de la transition entre un régime d'onde stationnaire et l'e?et d'´, p.267

, Bibliographie

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